Ein Körper in zwei Dimensionen
Teilprojekt1:
Zweidimensionale harmonische Bewegung mit der Federkraft:
Vektor Feder(Massenpunkt M) {
final double ax = 1.0, ay = 1.0; // Federkonstanten
return new Vektor(-ax * M.q.x, -ay * M.q.y);
}
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Setzen Sie die Masse auf 1, wählen Sie Werte für die
Federkonstanten und die Integrationsschrittweite, dt, spielen
Sie solange mit den Anfangsbedingungen für Ort und Impuls,
bis Sie einen Gutteil der Bahn für längere Zeit auf dem
Applet sehen.
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Sehen Sie eine periodische Bahn, beobachten Sie feste Amplituden?
Teilprojekt 2:
Dasselbe wie TP1, jedoch mit Zeitumkehr nach der Hälfte der
Integrationsschritte. Zu diesem Zweck machen Sie die Zeitumkehr
dt = -dt. Dann brauchen Sie nur noch eine zweite Schleife,
welche von tmax bis 0 geht!
Läuft der Massenpunkt nun genau rückwärts?
Teilprojekt3:
Dasselbe wie P2, jedoch mit Verkleinerung der zeitl. Schrittweite
um einen Faktor 2, 4, 8 etc.:
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Können sie beobachten, dass die Genauigkeit besser wird?
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Ist sie ausreichend? Sehen Sie echte Rückwärtsbewegung?
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Können Sie den Fehler des Algorithmus so verkleinern, dass er in
der graphischen Darstellung über längere Zeit nicht sichtbar
wird?
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Frage: ergeben sich nun geschlossene Bahnen?
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Wie ändert sich die Periode, wenn man die Federkonstante
vergrößert?
Teilprojekt4:
Wir fügen nun einen quadratischen Term beta M.q.x * M.q.x zur Kraft hinzu.
Wie verändert sich in diesem nichtlinearen Fall die Bahn?
Teilprojekt5:
Das Henon Heiles-Problem hatte eine wichtige Bedeutung bei der
Erforschung von Chaos-Phänomenen. Hier die x-Komponente der
entsprechenden Kraft:
-(M.q.x + 2.0 * M.q.x * M.q.y)
und y-Komponente:
-(M.q.y + M.q.x * M.q.x - M.q.y * M.q.y)
Setzen Sie diese Kraft ins Programm ein und studieren Sie die Form der
Bahnen, ausgehend von kleinen Werten für Ort und Impuls. Sehen
Sie geschlossene Bahnen, die Sie ganz auf dem Bildschirm halten
können? Chaos-Phänomene haben damit zu tun, dass die Bahnen
äußerst empfindlich auf sehr kleine Änderungen in den
Anfangsbedingungen reagieren. Können Sie das beoachten?