Ein Körper in zwei Dimensionen


Teilprojekt1:

Zweidimensionale harmonische Bewegung mit der Federkraft:

Vektor Feder(Massenpunkt M) {
final double ax = 1.0, ay = 1.0; // Federkonstanten
return new Vektor(-ax * M.q.x, -ay * M.q.y);
}
  1. Setzen Sie die Masse auf 1, wählen Sie Werte für die Federkonstanten und die Integrationsschrittweite, dt, spielen Sie solange mit den Anfangsbedingungen für Ort und Impuls, bis Sie einen Gutteil der Bahn für längere Zeit auf dem Applet sehen.

  2. Sehen Sie eine periodische Bahn, beobachten Sie feste Amplituden?

Teilprojekt 2:

Dasselbe wie TP1, jedoch mit Zeitumkehr nach der Hälfte der Integrationsschritte. Zu diesem Zweck machen Sie die Zeitumkehr dt = -dt. Dann brauchen Sie nur noch eine zweite Schleife, welche von tmax bis 0 geht!

Läuft der Massenpunkt nun genau rückwärts?

Teilprojekt3:

Dasselbe wie P2, jedoch mit Verkleinerung der zeitl. Schrittweite um einen Faktor 2, 4, 8 etc.:
  1. Können sie beobachten, dass die Genauigkeit besser wird?

  2. Ist sie ausreichend? Sehen Sie echte Rückwärtsbewegung?

  3. Können Sie den Fehler des Algorithmus so verkleinern, dass er in der graphischen Darstellung über längere Zeit nicht sichtbar wird?

  4. Frage: ergeben sich nun geschlossene Bahnen?

  5. Wie ändert sich die Periode, wenn man die Federkonstante vergrößert?

Teilprojekt4:

Wir fügen nun einen quadratischen Term beta M.q.x * M.q.x zur Kraft hinzu. Wie verändert sich in diesem nichtlinearen Fall die Bahn?

Teilprojekt5:

Das Henon Heiles-Problem hatte eine wichtige Bedeutung bei der Erforschung von Chaos-Phänomenen. Hier die x-Komponente der entsprechenden Kraft:

-(M.q.x + 2.0 * M.q.x * M.q.y)

und y-Komponente:

-(M.q.y + M.q.x * M.q.x - M.q.y * M.q.y)

Setzen Sie diese Kraft ins Programm ein und studieren Sie die Form der Bahnen, ausgehend von kleinen Werten für Ort und Impuls. Sehen Sie geschlossene Bahnen, die Sie ganz auf dem Bildschirm halten können? Chaos-Phänomene haben damit zu tun, dass die Bahnen äußerst empfindlich auf sehr kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen reagieren. Können Sie das beoachten?