Aufgabe: Zeichnen Sie die momentane Höhe y eines frei fallenden Massenpunktes als Funktion der Zeit t. Wir nehmen an, dass die Fallbeschleunigung einen konstanten Betrag von 9.81 N/kg hat. D.h. auf einen Körper mit der Masse 1 kg wirkt die konstante Kraft F = -9.81 N (negatives Vorzeichen, weil die Kraft nach unten wirkt - und damit die Höhe y verkleinert).
Wir kennen die analytische Lösung, das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall aus der Ruhe, hier schon in Java-Syntax:
y = y0 - 9.81 * t * t / 2.0;
Nehmen Sie einfach das Applet mit der Sinus-Funktion und statt Sinus zeichnen Sie diese Parabel! Entscheiden Sie sich für realistische Werte von t und y0 und setzen Sie die Werte in der Routine setRange entsprechend dazu.
Jetzt wird es aber spannend: Können Sie die gleiche (oder mindestens ähnliche!) Parabel mittels Euler-Integrator ausrechnen?
Die Schleife über t passt so wie sie ist, aber außer der Ortskoordinate q (natürlich, soll q dem y entsprechen, aber genau davon wollen wir uns erst überzeugen!) brauchen wir noch den Impuls p. Die zwei Größen, zusammen mit der Masse, definieren den Zustand des Massenpunktes und werden unter der Wirkung der Kraft ständig geändert.
Obwohl bei diesem Beispiel die Masse keine Rolle spielt, nehmen wir sie schon mit, was uns bei dem Übergang auf die komplizierteren Zusammenhänge das Leben erleichtert.
Zuerst berechnen wir die Kraft
F = -9.81 * m;
und dann berechnen wir die neuen Werte von q und p, ganz nach Eulers Rezept:
q += p * dt / m;
p += F * dt;
... und das ist schon alles, es bleibt uns noch die Bahn zu zeichnen -
am besten mit einer
anderen Farbe als die analytische Bahn.
Finden Sie eine Bahn, die der analytischen ganz genau enspricht? Variieren Sie dt!
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